古いバージョンのMySQLでPHPなどから接続すると発生するエラーです。
パスワードの形式が古く対応できません、とのエラー。
エラー：The old style password is not supported (Mysql::ProtocolError)
古いバージョンのMySQLではパスワードのハッシュが16桁のため、 41桁に変更する必要があります。
MySQLに接続して、以下のコマンドを実行します。
> SET SESSION old_passwords=0;
> SET PASSWORD=PASSWORD('パスワード');
old_passwords=0で41桁、old_passwords=1で16桁のハッシュに変更できます。
